モンティ・ホール問題を全事象洗い出しで理解

初めに

モンティ・ホール問題の確率の理解に苦しむ人も多いと思います。
ここでは確率の原理である「個別事象数／全事象数」を計算してみます。
もしかしたら今度こそ私も納得できるかもしれないと期待して書き出しました。

全事象の表

時系列で左から右に行動が起こる順番を表にしています。

事象No	答えの トビラ	挑戦者 1回目	司会者が 残したトビラ	挑戦者 再選択	正否	変えなくて 良かった	変えた方が 良かった
1	A	A	B	変えない	当たり	○
2	A	A	B	変える	ハズレ	○
3	A	A	C	変えない	当たり	○
4	A	A	C	変える	ハズレ	○
5	A	B	A	変えない	ハズレ		○
6	A	B	A	変える	当たり		○
7	A	B	C(本来はあり得ない)	変えない	?	?	?
8	A	B	C(本来はあり得ない)	変える	?	?	?
9	A	C	A	変えない	ハズレ		○
10	A	C	A	変える	当たり		○
11	A	C	B(本来はあり得ない)	変えない	?	?	?
12	A	C	B(本来はあり得ない)	変える	?	?	?
13	B	A	B	変えない	ハズレ		○
14	B	A	B	変える	当たり		○
15	B	A	C(本来はあり得ない)	変えない	?	?	?
16	B	A	C(本来はあり得ない)	変える	?	?	?
17	B	B	A	変えない	当たり	○
18	B	B	A	変える	ハズレ	○
19	B	B	C	変えない	当たり	○
20	B	B	C	変える	ハズレ	○
21	B	C	A(本来はあり得ない)	変えない	?	?	?
22	B	C	A(本来はあり得ない)	変える	?	?	?
23	B	C	B	変えない	ハズレ		○
24	B	C	B	変える	当たり		○
25	C	A	B(本来はあり得ない)	変えない	?	?	?
26	C	A	B(本来はあり得ない)	変える	?	?	?
27	C	A	C	変えない	ハズレ		○
28	C	A	C	変える	当たり		○
29	C	B	A(本来はあり得ない)	変えない	?	?	?
30	C	B	A(本来はあり得ない)	変える	?	?	?
31	C	B	C	変えない	ハズレ		○
32	C	B	C	変える	当たり		○
33	C	C	A	変えない	当たり	○
34	C	C	A	変える	ハズレ	○
35	C	C	B	変えない	当たり	○
36	C	C	B	変える	ハズレ	○

結果???

全事象の個数：36個
「変えなくて良かった」列の○の個数：12個
「変えた方が良かった」列の○の個数：12個

つまり、
「変えない方が良かった」確率は12/36→33%
「変えたほうが良かった」確率は12/36→33%

・・・あれ？おかしいですね。どっちも同じ確率になっています。
また2つ足しても66%にしかなりません。
というのも表の黄色セルは本来なら事象から外すはずのものなのにそれも全事象としてカウントしているからです。
しかしこれを残すことこそがモンティ・ホール問題の肝だと思います。私はこの黄色セルの部分も確率の計算に必要だと考えています。そしてこの黄色セルの行は「変えたほうが良かった」に分類するのだろうと思います。

真の結果

全事象の個数：36個
「変えなくて良かった」列の○の個数：12個
「変えた方が良かった」列の○と?の個数：24個

つまり、
「変えない方が良かった」確率は12/36→33%
「変えたほうが良かった」確率は24/36→66%

?を「変えたほうが良かった」に分類する理由ですが、黄色セル部分は司会者が答えのあるドアを開いてしまったという状況に該当します。そのため自動的に挑戦者の負けが確定します。しかしそのようなケースが起きないように司会者がドアを選ぶことによって残されたドアがその分当たっている可能性を高めるためだと考えています。